Teoria dell'integrazione (secondo Riemann) in una variabile. Primitive. Integrazione per parti e per sostituzione. Primitive delle funzioni razionali e di alcune funzioni elementari.Somme integrali superiori ed inferiori per funzioni limitate su intervalli limitati; definizione di integrale definito (secondo Riemann); integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone su intervalli limitati.Proprietà dell'integrale definito; teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale e teorema di Torricelli-Barrow. L'uso dell'integrale definito nel calcolo delle aree di figure piane. Estensione della nozione di integrale al caso di funzioni illimitate e di intervalli illimitati.Integrale di Riemann-Stieltjes. Calcolo differenziale in piu` variabili. Richiami sulla geometria dello spazio euclideo n-dimensionale: prodotto scalare, distanza, disuguaglianza di Cauchy, cenni di topologia; coordinate polari nel piano. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili. Matrice Jacobiana e gradiente. Differenziabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Il teorema di Schwarz. La formula di Taylor.Massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Matrice Hessiana. Forme quadratiche. Massimi e minimi vincolati; il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.Funzioni implicite. Invertibilita` locale delle funzioni di più variabili. Teoria dell'integrazione (secondo Riemann) in più variabili. Definizione di integrale doppio per funzioni definite su rettangoli; teorema di riduzione. Integrale su regioni più generali; misura di Peano-Jordan. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Integrali multipli e formule di riduzione per funzioni di più di due variabili. Cambiamento di variabili: coordinate polari nel piano e nello spazio, coordinate cilindriche. Calcolo di volumi. Cenno agli integrali multipli generalizzati. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Teorema del doppio limite e sue conseguenze. Relazioni tra convergenza uniforme e continuità, limitatezza, integrazione. Criterio di Weierstass per la convergenza uniforme delle serie di funzioni. Serie di potenze nel campo complesso; raggio di convergenza e criteri per la sua determinazione. Infinita derivabilità della somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni. Equazioni differenziali ed equazioni alle differenze. Equazioni e sistemi differenziali ordinari; problemi di Cauchy e problemi ai limiti. Teoremi di esistenza e unicità locale e globale. Integrazione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari, equazioni di Bernoulli e di Manfredi. Equazioni e sistemi differenziali lineari; il caso omogeneo: lo spazio delle soluzioni, matrice Wronskiana, determinazione esplicita delle soluzioni nel caso di coefficienti costanti; il caso non omogeneo: il metodo di variazione delle costanti arbitrarie, alcuni artifici particolari.L'operatore di differenza, differenze d'ordine superiore e analogia con la nozione di derivata. Inversione dell'operatore di differenza. Formula di Gregory-Newton e formule di integrazione approssimata. Equazioni alle differenze. Determinazione ricorsiva delle soluzioni nel caso di un problema ai dati iniziali. Il caso lineare. Misura e integrale di Lebesgue (cenni). Misura esterna e misura interna di insiemi limitati; misura di Lebesgue di insiemi limitati; estensione al caso generale; esistenza di insiemi non misurabili. Funzioni misurabili. Integrale secondo Lebesgue di funzioni misurabili e limitate; estensione al caso generale. Il ruolo svolto dagli insiemi di misura nulla. Integrazione per successioni: teoremi di convergenza monotona e dominata. Misura prodotto e teorema di Fubini-Tonelli.